Сколько денег придётся потратить, чтобы собрать весь альбом наклеек ЧМ-2026?
Недавно компания Panini представила коллекцию наклеек, посвящённую Чемпионату мира 2026. Собирать стикеры всегда весело — это подогревает интерес к турниру, позволяет лучше познакомиться с участниками мундиаля и найти себе единомышленников.
Сам я собирал наклейки не так много. Мой первый альбом — РФПЛ, сезон 2009 года: родители купили его, чтобы поддержать моё новое хобби, ведь футболом я увлёкся лишь после Евро-2008.
Позже я несколько лет подряд собирал наклейки Лиги чемпионов. Пик пришёлся на сезон 10/11 — я покупал много стикеров, но так и не заполнил ни одну из команд целиком: в альбоме 09/10 не хватило двух наклеек, чтобы собрать «Бордо», а в альбоме 10/11 чуть-чуть не хватило до полного состава «Рубина».
С тех пор наклейки я не собирал, но думал попробовать заполнить альбом грядущего чемпионата мира. Однако сначала хотелось прикинуть, сколько денег на это уйдёт, учитывая, что мне не с кем будет обмениваться. С этой задачей я знаком, так как преподаю в школе математику — это классический сюжет из теории вероятностей.
Что такое классическая вероятность?
Представьте, что вам предложили сыграть в игру: вы подбрасываете игральный кубик. Если на нём выпадет 1, 3 или 5, то вы проиграете 200 рублей, если выпадет 2 или 4, то выиграете 100 рублей, а если выпадет 6, то выиграете 1000 рублей. Каков будет ваш средний выигрыш?
Важно понимать, что если бросить кубик, например, 600 раз, то каждая из цифр от 1 до 6 выпадет на нём в среднем примерно 100 раз, причём при увеличении количества бросков доля выпадения каждой цифры среди всех бросков будет приближаться к 1/6. На этом основана концепция классической вероятности: она выражает долю выпадения определённого исхода по отношению к их общему количеству. Так как у кубика всего 6 граней, то каждая из них выпадает с вероятностью 1/6.
Подобным образом можно определить вероятность события как долю всех исходов, удовлетворяющих событию, по отношению к их общему числу. Например, по такой логике нечётное число выпадет на кубике с вероятностью 3/6 = 1/2, потому что этому событию соответствуют 3 исхода из 6: «выпало 1», «выпало 3», «выпало 5».
Как посчитать средний выигрыш?
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений возможных значений этой величины на вероятности, с которыми она их принимает. В данной задаче случайной величиной является сумма выигрыша — её значение заранее неизвестно, однако её можно будет определить по результатам эксперимента, заключающегося в броске кубика.
Выигрыш может принимать значения 1000, 100 и -200 (здесь минус, так как в случае выпадения нечётного числа мы не выигрываем, а проигрываем 200 рублей). Рассчитаем, с какой вероятностью нам достанется каждый из вариантов:
выигрышу в 1000 рублей соответствует лишь случай, когда на кубике выпало 6. Вероятность такого исхода – 1/6;
100 рублей мы выигрываем в случаях, когда выпало 2 или 4, то есть здесь подходят 2 исхода из 6 – вероятность равна 2/6 = 1/3;
«выигрыш» в -200 рублей достаётся нам в случае, когда на кубике выпало нечётное число. Это происходит с вероятностью 1/2 — её мы уже считали чуть ранее.
Теперь рассчитаем математическое ожидание! Оно традиционно обозначается английской буквой E от первой буквы словосочетания expected value.
E = 1000 * (1/6) + 100 * (1/3) + (-200) * (1/2) = -100.
Средний выигрыш получился отрицательным! Что это значит? Вероятно, принять участие в одной такой игре можно — шанс выиграть 1000 рублей не такой уж и маленький, однако если играть много раз, то в среднем вы будете ближе к тому, чтобы обеднеть на 100 рублей.
Ключ к решению задачи — линейность математического ожидания
Что будет, если в описанную выше игру сыграть дважды? Может показаться, что шансы на то, чтобы выбросить на кубике 6 и выиграть заветную тысячу рублей, увеличились, ведь теперь есть две попытки. К сожалению, это не так: если средний проигрыш за одну игру составляет 100 рублей, то за две игры – уже 200. На самом деле это логично, ведь если рассмотреть игры по отдельности, то в каждой попытке мы в среднем проиграем 100 рублей. Если обобщить эту идею, то легко понять, что за n игр будет проиграно в среднем 100 * n рублей. Это свойство математического ожидания называется линейностью.
В указанном примере рассматриваемые случайные величины являются независимыми, то есть результаты игр никак не влияют друг на друга. На самом деле математическое ожидание суммы случайных величин линейно в любом случае, даже если они являются зависимыми.
Вернёмся к исходной задаче о наклейках.
Обозначим за Е₀ количество стикеров, которое необходимо купить, чтобы в коллекции оказался 1 стикер. Легко заметить, что самый первый стикер обязательно будет новым в коллекции, поэтому Е₀ = 1. Теперь посмотрим, сколько стикеров в среднем нужно будет приобрести, чтобы найти ещё один новый – эту величину обозначим за Е₁.
Итак, в альбоме всего 980 наклеек. Одна из них у нас уже есть — купим ещё одну. С вероятностью 979/980 она окажется новой, с вероятностью 1/980 — повторкой. Вспомним, как считается математическое ожидание: вероятность исхода умножается на значение случайной величины, в данном случае – на количество стикеров, которое необходимо приобрести; затем получившиеся произведения складывают.
Здесь первым слагаемым будет произведение (979/980) * 1. Со вторым слагаемым всё чуть сложнее. Купленный стикер оказался повторкой – сколько ещё наклеек придётся приобрести? Ответ, как ни странно, известен – Е₁. Получается, с вероятностью 1/980 нам придётся купить ещё (1 + E₁) стикеров, чтобы найти новый. Мы пока не знаем значение Е₁, но зато есть уравнение, с помощью которого это число можно найти:
E₁ = (979/980) * 1 + (1/980) * (1 + E₁).
Из этого уравнения находим, что Е₁ = 980/979.
Теперь выясним, сколько наклеек нужно купить, чтобы к двум собранным добавить новую. Обозначим это число за Е₂. Логика абсолютно такая же: вероятность достать новый стикер – 978/980, в этом случае будет куплен 1 стикер; вероятность достать повторку – 2/980, тогда будет куплено (1 + E₂) стикеров. Вычислим Е₂:
Е₂ = (978/980) * 1 + (2/980) * (1 + Е₂).
Здесь выходит, что Е₂ = 980/978.
А теперь обобщим идею и посчитаем, сколько нужно будет купить наклеек, чтобы добавить одну новую к уже имеющимся i штукам. Это число обозначим за Еᵢ. Считаем:
Еᵢ = ((980 - i)/980) * 1 + (i/980) * (1 + Еᵢ).
Получаем, что Еᵢ = 980/(980 - i).
В процессе заполнения альбома количество вклеенных стикеров со временем увеличивается: сначала один стикер, затем два, три и так далее. Для каждой такой отметки мы посчитали, сколько стикеров в среднем нужно будет купить, чтобы перейти к следующей отметке — Е₀, Е₁, Е₂ и так далее. Самое время воспользоваться линейностью математического ожидания:
Е = Е₀ + Е₁ + Е₂ + … + Е₉₇₉ = (980/980) + (980/979) + (980/978) + … + (980/1).
В получившемся выражении можно вынести за скобку общий множитель 980 и записать слагаемые в обратном порядке — тогда получится красивая сумма:
Е = 980 * (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/980), что примерно равно 7334.
Таким образом, чтобы собрать альбом, придётся купить в среднем 7334 наклейки, или 1048 упаковок по 7 стикеров.
Цены на альбом и наклейки в разных городах отличаются. Будем считать, что альбом стоит 400 рублей, а пакетик с 7 наклейками – 125 рублей. Получается, чтобы собрать полную коллекцию, не обмениваясь с другими людьми, придётся потратить в среднем 131400 рублей. Дороговато!
Пишите в комментариях, какие альбомы вы собирали и планируете ли коллекционировать наклейки Чемпионата мира 2026.
Поддержите статью плюсом, подпишитесь на блог и на телеграм-канал football x shirts!
