Korboq: комментарии

Более того, в сумме у него контракт до 2026: контракт игрока до 2023 и контракт, учитывающий тренерскую работу (пока неясно, какую именно) до 2026

Тут в вашей правоте сомнений нет. Мне, наверное, стоило сразу сказать, что уж в самом Бильбао название клуба почитают слишком сильно, чтобы его как-то ограничивать
Да и вообще в Испании в разных регионах очень много отличий языковых даже в пределах больших регионов (той же страны Басков, например). Наверняка, в футболе это тоже имеет существенное значение.

Свой отпечаток могла наложить политика Франко, требовавшая использование исключительно испаноязычных названий: «CF Barcelona», «АтлетикО Бильбао» и тому подобные

Видимо, обусловлено стилем подачи информации, раз мадридские клубы прозвищами называют. «Атлетико» ещё часто зовётся «Атлети» (даже клубный Твиттер так назван)
С «Бильбао», возможно, всё действительно не так однозначно, но если «столкнуть» их с «Атлетико», то тут точно идёт «Бильбао», ибо постоянно путаться никому не хочется, а «Мадрид» – уже занято (как уже отмечали, «Реал Мадрид» при основании был просто «Мадридом»)

Почему нет? Тем более, что это больше подходит «Редингу» с их «The Royals»

На самом деле, в отношении «Мадрида» верно замечание, что в самой Испании его не называют просто «Реалом». Есть 2 варианта: просто «Мадрид» и «Реал Мадрид». Англоязычные комментаторы и журналисты используют «Real Madrid», хотя иногда можно встретить просто «Real» в различных каламбурах. Но наше «мадридский Реал» напоминает «Челси»-аристократов. «Реалов» там действительно очень много, не все хорошо представляют, насколько много.
Также для простоты понимания «Атлетик Бильбао» зовут просто «Бильбао», а «Атлетико» мадридский так и зовут, город добавлять не нужно.