На YouTube, под видео нажмите "Поделиться" и там появится ссылка, а чуть правее будет строчка "Начать с ..." и выбираешь секунду, минуту с которой хочешь, чтобы начиналось видео. Вставляете ссылку на видео сюда и когда пользователь нажимает, чтобы посмотреть видео, оно автоматически начинает проигрываться с нужной минуты.