Настоящая вероятность того, что результаты жеребьёвки совпали с технической жеребьёвкой

Этот пост написан пользователем Sports.ru, начать писать может каждый болельщик (сделать это можно здесь).

Жеребьёвка Лиги Чемпионов стала сенсацией - её результаты полностью совпали с результатами "технической" жеребьёвки, которая была проведена накануне.  

Вот результаты репетиции жеребьёвки:

А здесь результаты настоящей жеребьёвки, взятой с сайта УЕФА:

Как видите, совпали как пары клубов, так и последовательность клубов в этих парах.

Последовательность - не совпадение

Не стоит удивляться, что совпали последовательности клубов. Они не "совпали". Вы можете видеть, что во всех парах первыми указаны клубы, которые заняли в своих группах вторые места. А вторыми - те, кто заняли первые места. Это сделано для того, чтобы обеспечить, то, что команды, занявшие первые места в группах, будут ответный матч играть дома. Соответственно, иной последовательность быть не могла.

Это означает, что если мы хотим подсчитать вероятность того, что результаты реальной жеребьёвки полностью совпадут с результатами репетиции жеребьёвки, то последовательность клубов нам нужно из подсчётов исключить.

Правдивая вероятность

Давайте посчитаем вероятность того, что результаты жеребьёвки совпали с результатами репетиции жеребьёвки.

Первым на жеребьёвке вытащили шар Галатасарая. Вероятность того, что Галатасараю достанется Шальке, равняется 1/7. Туркам мог достаться любой клуб, занявший 1-е место в группе, кроме Манчестер Юнайтед, с которым турки играли в группе.   

Третий шар, который был вытащен, содержал имя "Селтик".  Шотландцам мог достаться любой клуб, занявший первое место, за исключением двух: Шальке, который к тому моменту уже стал соперником Галатасарая, и Барселона, с которой шотландцы играли в группе. Тем самым, вероятность того, что Селтику достанется Ювентус, равняется 1/6.  Умножаем 1/7 на 1/6 и получаем 1/42. Это вероятность того, что Галатасараю достанется Шальке, а Селтику - Ювентус.  

Пятый шар - Арсенал. Англичанам мог достаться любой клуб, занявший первое место, кроме следующих: Шальке, с которым Арсенал играл в группе, Ювентус, который к тому моменту уже получил себе соперника, и Манчестер Юнайтед, который также представляет Англию. Тем самым, вероятность, что Арсенал получит в соперники Баварию, равнялась 1/5. Умножаем 1/42 на 1/5 и получаем 1/210.  

Седьмой шар - Шахтёр. Ему могли достаться все, кроме Шальке, Ювентуса и Баварии. Вероятность того, что ему попадётся именно Боруссия, равняется 1/5. Умножаем 1/210 на 1/5 = 1/1050.  

Девятый шар - Милан. Ему могла достаться только Барселона. Потому что если бы ему выпал любой другой клуб, это автоматически означало бы встречу двух испанских команд в 1/8 финала, что запрещено правилами. Тем самым, вероятность 100% или 1. Умножаем 1/1050 * 1 = 1/1050.  

Одиннадцатый шар - Реал Мадрид. Ему могло достаться 2 клуба. Вероятность, что достанется Манчестер Юнайтед - 1/2. Умножаем 1/1050 на 2 = 1/2100.  

После этого Валенсии мог достаться только ПСЖ, а Порту - Малага. Вероятности этих совпадений - 100%. Умножаем 1/2100 на 1 и на 1 и получаем 1/2100.  

Тем самым, вероятность того, что результаты реальной жеребьёвки совпадут с результатом технической жеребьёвки, равняется 1/2100.